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La storia dei due nomi

Capita che le tracce di alcune persone riescano a sopravvivere secoli o millenni perché il loro nome rimane attaccato a quello di un manufatto.

L’antiquario e archeologo scozzese Alexander Henry Rhind e lo scriba egizio Ahmes sono due nomi trascinati fino alla modernità da un papiro.

Il papiro è appunto detto papiro di Rhind o Ahmesh (ha anche il nome più asettico di pBM 10057 e pBM 10058, la coppia di sigle delle due parti del manufatto date dal British Museum) e la sua fama deriva dal fatto di essere uno dei più antichi e completi esempi di manuale matematico egizio.

L’archeologo Rhind (una vita breve ma molto interessante, terminata pare in Italia all’età di 30 anni) è colui che lo acquista a Luxor nel 1858 (era stato ritrovato a Tebe nelle rovine di Ramesseum) e Ahmesh è lo scriba che lo ha trascritto intorno al 1650 a.C. durante il regno di Aphophis (quinto sovrano della XV dinastia) da un testo andato perduto prodotto durante il regno del re Amenemhat III (12esima dinastia, 1860–1814 a.C.).

Alexander Henry Rhind
Papiro di Rhind

Come si vede, anche solo un minuscolo frammento di questa storia induce interesse e curiosità. Se si apprezzano poi le frazioni, il testo non delude.

Il papiro

Il testo è un vero e proprio manuale tecnico matematico. I temi trattati sono:

  1. Aritmetica delle frazioni (il tema di questo post)
  2. Problemi pratici di geometria
  3. Problemi della misura e progressioni

Oggi il contenuto può non sembra esoterico e mistico (forse), anche se è interessante notare che la sezione dedicata all’aritmetica è intitolata “Indicazioni per conoscere tutte le cose oscure”.

Per gli Egizi contemporanei del testo, le frazioni non erano rappresentate come nella modernità mediante il rapporto di due interi n/m, ma mediante una somma di frazioni unitarie (a numeratore 1) rigorosamente differenti tra di loro (con l’aggiunta al ristretto club della frazione ⅔, che veniva indicata con un simbolo speciale).

Sono quindi delle frazioni egizie:

Nonostante l’apparente limitatezza della rappresentazione, tutte le normali frazioni (quindi i razionali) possono essere rappresentati in questa forma.

Anche se oggi è palese poi che sono possibili infinite rappresentazioni di questo tipo, i matematici dell’antico Egitto sembra fossero più interessati ad ottimizzare la forma di una frazione per venire incontro a dei particolari usi pratici.

I numeri e gli Egizi

Partendo dall’inizio, rispetto alle fonti sembra chiaro che gli Egizi conoscessero e sapessero scrivere la serie dei numeri interi da 1 a 10.000.000 (quindi una rappresentazione degli interi positivi) e le frazioni definite dai reciproci degli interi con l’aggiunta della frazione ⅔ .

La scrittura non era posizionale, ma il numero era definito dalla somma dei simboli.

Addizione e sottrazione erano eseguite senza problemi, ma moltiplicazione e divisione in modo diretto erano effettuate solo per 2 e 10. In casi differenti venivano iterate procedure affini a quelle moderne.
Proprio nel papiro di Rhind viene mostrato come effettuare la divisione per moltiplicazioni successive del divisore.

Le notazioni che ci sono giunte sono quella in ieratico (come nel caso del papiro citato) e quella in geroglifico.

In geroglifico gli elementi grafici utilizzati erano:

Quindi per scrivere il numero 23312 venivano giustapposti i simboli in modo iterato in modo da rappresentare, mediante la loro somma, il valore finale:

Non essendo posizionale la scrittura, le due rappresentazioni (da destra e da sinistra) sono equivalenti.

Le frazioni definite dai reciproci degli interi avevano una rappresentazione molto facile. Il numero x del denominatore veniva disegnato sotto il seguente simbolo:

Quindi, ad esempio:

L’eccezione della frazione ⅔ era rappresentata con il simbolo:

Somma gerarchica

È facile notare che anche il metodo egizio nasconde una rappresentazione gerarchica.

La gerarchia è data dalla grandezza delle frazioni che si sommano e risulta pervasiva sia nel pensiero umano sia nella matematica.

Si cerca di rappresentare in modo sempre più preciso un elemento x con una somma di oggetti che si conoscono, sapendo, ipotizzando o credendo di sapere (tema vasto che potrebbe portare facilmente fino alla quasimodernità, con il teorema di incompletezza di Godel) che esiste un’uguaglianza della sostanza di x con la somma, indipendentemente dalle rappresentazioni.

La gerarchia non è essenziale ma è storicamente preferita. Il primo termine delle frazioni egizie (o l’ultimo, se l’ordine è invertito) è una buona prima approssimazione, come lo è il primo termine di una serie di funzioni.

Riprendendo quindi gli esempi iniziali:

La prima riga chiarisce che ⅖ è circa ⅓.

Nella seconda riga ⅔ è una molto grezza approssimazione di 9/10 che diventa già buona con l’aggiunta di ⅕ .

Motivazioni

Le motivazioni che portarono a questo tipo di rappresentazione non sono totalmente chiare, i millenni tendono ad occultare motivazioni che, forse, sono molto lontane da quelle ipotizzate nella modernità.

Esistono spiegazioni che puntano su motivazioni pratiche, linguistiche, semiotiche, evolutive ed esoteriche.

Una semplice motivazione pratica che viene spesso citata è la seguente: se è necessario dividere k oggetti in n parti (5 torte egizie da dividere in modo equo tra 8 scriba), la rappresentazione egizia riduce il numero di frammenti (interessante notare che la comparazione che viene fatta è sempre con il metodo moderno che, si ipotizza, non fosse noto agli egizi). Il vantaggio sarebbe che la riduzione dei frammenti riduce il numero di tagli necessari che, in base al problema, potrebbero risultare costosi nella loro produzione o difficili.

Utilizzando quindi l’esempio delle 5 torte per gli 8 scriba:

⅝ = ½ + ⅛

Si dividono così a metà (½) le cinque torte (10 pezzi), e si dà un mezzo di torta ad ogni scriba. Rimangono 2 mezze torte da dividere in otto parti (quindi basta dividere ogni parte in quattro) e da spartire in modo equo. In totale si hanno quindi 8 pezzi più grandi e 8 pezzi piccoli.

Utilizzando direttamente la frazione ⅝ sarebbe necessario dividere le 5 torte in otto pezzi ciascuna (ottenendo 40 pezzi) e consegnare 5 pezzi di torta ad ogni scriba.

Le fette Egizie sarebbero quindi più invitanti e le briciole ridotte.

Rispetto a motivazioni esoteriche sarà sicuramente interessante esplorare il tema correlato dell’occhio di Horus e Pi Greco in un post dedicato.

Occhio di Horus “frazionato”

Alle parti dell’occhio di Horus in figura vengono associate delle specifiche frazioni. In uno degli episodi del contenzioso tra Horus e Set, quest’ultimo riesce a strappare l’occhio sinistro di Horus e a romperlo in 64 parti. Il dio Thoth raccoglie e ripara l’occhio, ma ne lascia a Set 1/64mo nascondendolo.

La storia è articolata, ma ci sono diverse ipotesi di connessioni con Pi Greco. Una è data dal fatto che 1/64 moltiplicato per 2 occhi e per 100 dà come risultato 3,125 che risulta essere l’approssimazione babilonese di Pi Greco.

È da ricordare poi che anche il papiro di Rhind è collegato in modo non esplicito a Pi Greco mediante l’enigmatico problema 48.

Estratto dell’enigmatico problema 48 del papiro di Rhind associato a Pi Greco.

Esempio di tecnica

Costruire una frazione egizia non è sempre facile e il manuale è dedicato proprio a tecniche che permettono di ottenere questo risultato.

Dato che lo ieratico non è noto ai più, per i dettagli consigliamo ad esempio l’antico (ma moderno rispetto al papiro) Chace, Arnold Buffum; et al. (1927). The Rhind Mathematical Papyrus Volume I.

Ci sono comunque metodi più o meno moderni per raggiungere l’obiettivo per classi particolari di frazioni, oltre che un algoritmo generale (ma non ottimale dato che la soluzione spesso porta a denominatori molto grandi).

Le frazioni che sono già 1/n possono essere scritte come somma nel seguente modo:

1/n = 1/(n+1) + 1/n(n+1)

Quindi, ad esempio:

1/11 = 1/12 + 1/11*12 = 1/12 + 1/132

Per le frazioni del tipo 2/n ci sono diverse scomposizioni citate in letteratura. Una delle più interessanti è:

2/n = 1/n + 1/2n + 1/3n + 1/6n

Che quindi lega in qualche modo il numero 2 del numeratore con la sequenza 1,2,3,6

Per le frazioni di tipo più generale è poi noto un algoritmo greedy (descritto per la prima volta da Fibonacci — https://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_algorithm_for_Egyptian_fractions) che non ha la stessa poesia dei metodi egizi, ma che ha il pregio di funzionare sempre ed essere facilmente implementabile dal punto di vista algoritmico.

Interessanti riferimenti

Per chi è interessato ad approfondire il tema vi proponiamo alcuni link interessanti:

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